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原创张玖琪丁益民等物理与工程
摘要
空气阻力系数是计算空气阻力的一个重要参数，与物体的迎风面积、表面光滑程度和形状有关。由于人体是一个不规则的形状，其空气阻力系数一般较难得到。本文把人在荡秋千时的运动巧妙地近似为一个单摆的阻尼振动，运用智能手机和Tracker软件，通过拍摄人荡秋千的过程，拟合出人体作阻尼振动时振幅随时间的变化曲线，并根据阻尼振动的相关计算公式得到人体的空气阻力系数。
关键词空气阻力系数；智能手机；Tracker软件；阻尼振动
AbstractAirresistancecoefficientisanimportantparameterincalculatingairresistance,whichisrelatedtowindwardarea,surfacesmoothnessandshapeofanobject.Becausethehumanbodyisanirregularshape,itsairresistancecoefficientisgenerallydifficulttoobtain.Inthispaper,themovementofapersonintheswingisskillfullyapproximatedtothedampedvibrationofasinglependulum.Throughshootingtheprocessofhumanswingbyusingthesmartphoneandtrackersoftware,variationcurveofamplitudeofthehumanbody’sdampedvibrationwithtimeisfitted.Then,theairresistancecoefficientofhumanbodyisobtainedaccordingtotheformulaofdampingvibration.
空气阻力与我们的生活息息相关，人在跑步时、骑车时、滑雪时等情况下，都会受到空气阻力的影响。空气阻力系数作为计算物体空气阻力必不可少的因数尤为重要。但由于人体形状的不规则性，确定人体空气阻力系数的难度较大，因此对人体空气阻力系数的研究较为少见。文献［1］通过设计风洞实验对4名我国优秀的速滑运动员进行了空气阻力系数的测量，并分析了空气阻力对于速滑运动的影响[1]。文献［2］运用现代信息技术，利用视频捕捉和分析软件，对弹簧振子在空气中的阻力系数进行了测量，为我们提供了测量空气阻力系数的新方法[2]。本文在上述研究的基础上，选择人体可参与的且较为规律的荡秋千的运动进行研究，把秋千的运动近似为单摆的阻尼振动。首先运用智能手机完整记录人体在空气中的阻尼振动过程，然后利用Tracker软件分析得到人体位置随时间的变化曲线。通过对振动曲线的数值分析可以得到其振幅随时间的衰减系数，从而测出人体的空气阻力系数。本实验不仅避免了进行人体风洞实验时，对人体迎风面积估算不准确所带来的误差，同时实验器材简单，数据处理方便快捷，具有较高的可推广性。
1实验原理
1.1计算人体的迎风面积
在运用本实验的计算公式得到人体空气阻力系数的过程中，不会运用到人体迎风面积这个参数，所以本文对于人体迎风面积的估算并没有采用较为精确的算法。计算人体的迎风面积时，由于人在秋千上的坐姿为上半身与地面垂直，膝关节弯曲角度为90。所以我们可以把人体近似看成是由球体和多个长方体来构成的图形，来计算秋千上人体的迎风面积，如图1所示。
用软尺测量出所需要的人体参数后，得到计算人体迎风面积的计算公式为
1.2计算秋千模型的雷诺数
在流体力学中，雷诺数是流体惯性力与黏性力比值的量度。雷诺数较小时，黏滞力对流场的影响大于惯性力，流场中流速的扰动会因黏滞力而衰减，流体流动稳定，为层流，此时，阻力与速度将成正比。
在秋千模型中雷诺数的计算公式为
其中ρ、v、D、η分别为空气的密度、秋千摆动的速度、人体的宽度、空气的黏度系数。
由于实验是在武汉的夏天进行，天气温度约为30摄氏度，因此空气的密度约为1.kg/m3。根据Tracker软件追踪出来的v-t图，求得秋千摆动的平均速度约为0.m/s，人体的宽度约为0.4m，空气的黏度系数为2.-5Pas。把相关数据代入公式进行计算后，得到Re=可看为层流，因此，空气阻力与速度成正比的结论在秋千模型中可成立。
1.3计算人体的空气阻力系数
人坐在秋千上把秋千推到一定高度后由静止下放，秋千做阻尼振动，可近似看成单摆的阻尼振动。此时秋千的速度较小，黏滞阻力Ff和物体的速度v成正比，即
其中，k为空气阻力系数，l为摆长，θ为角位移。由受力分析可知，在秋千来回摆动的过程中受到的回复力为
式中，负号表示回复力的方向与位移θ的方向相反。由此得到的秋千的运动方程为
因为x=lθ，所以
，代入上式中得到
当摆角较小时，sinθ≈θ，整理可得[3]
其中，令
，
，这个微分方程的解为
θ=θ0e-βtcos(ω0t+α)（7）
得到阻尼振动的振幅随时间的衰减函数为
A=A0e-βtcos(ω0t+α)（8）
其中衰减系数
。所以，空气阻力系数[4]
k=2mβ（9）
由此可知，我们只要知道人体和秋千的总质量m，然后根据Tracker软件追踪到的振动曲线，拟合出振幅的衰减系数β，就可以求得人体的空气阻力系数。
2实验器材和实验步骤
首先我们需要准备一部拍照性能较好的智能手机，手机支架，秋千，体重计（精度为0.1kg），卷尺（精度为1mm）和一台安装有Tracker软件的计算机。
为了使实验的结果尽量准确，减少系统误差。在实验操作中要求视频的拍摄环境采光良好，视频背景与秋千色彩对比明显，这样有利于提高视频分析时对秋千捕捉的准确度。摄像头应与秋千底座处于同一水平线上，且镜头焦平面与地面垂直，避免因俯视或仰视造成的视角误差[2]。
接着按照实验步骤完成实验并进行数据分析。
1)选择合适的秋千
由于我们需要把秋千近似的看成单摆，所以秋千两边摆线的长度需尽量长并且相同，确保人坐在秋千上可以近似看成质点，保持秋千底座与地面平行[5]。本实验采用自搭秋千，秋千底座采用木棒，因为我们在实验的过程中发现，当有宽度的木板做底座时很难始终保持与地面平行，因此当从一定高度释放秋千后，常因为底座不平而导致秋千发生转动，所以采用木棒会比木板更能减少秋千摆动时旋转带来的误差。秋千底座的质量为0.8kg，秋千的摆长为3.93m，摆长近似为测量悬挂点到秋千底座的距离。
2)安装好智能手机
打开智能手机的相机功能，调到录像界面后安装在手机支架上。调整手机支架的高度与秋千底座处于同一水平线上，并且手机与地面垂直。找到一个可入镜的静止物体，用卷尺测量其实际长度，方便后面对视频进行定标。
3)开始录像，进行实验
首先，在秋千上不坐人时，放一个重物（迎风面积比较小），测试秋千系统的衰减特性。
随后，测量人以上半身与地面垂直，膝关节弯曲角度为90的坐姿在秋千上坐好时秋千的数据，形成对比实验，得出真正的人体空气阻力系数。
秋千摆角的选择要小于5，保持摆线与秋千底部呈90，这样可以尽量减少秋千的左右摆动，使秋千做初速度为零的在水平方向的阻尼振动。用按下智能手机的开始按钮，记录50~个运动周期后停止录像，完成一次记录。
用体重计称量并记录人的体重，用卷尺测量并记录人的三围等参数，方便预估出人的迎风面积，得到人体参数对人体空气阻力系数的影响。
最后，更换不同的实验者，参与人体空气阻力系数的测量，方便给出人体的空气阻力系数平均值，并对实验数据进行理论分析。
3数据处理
将录制好的视频拷贝到电脑上，导入Tracker软件。
3.1用Tracker软件得到振动图像
首先，建立直角坐标系，选择一个已知长度的物体创建定标尺。其次，在秋千底座与摆绳的连接处，创建一个质点（本实验为了提高自动追踪的准确度，在连接处放置一朵红玫瑰）。选择一段拍摄稳定的视频，设置视频的起始帧和终止帧[6]。最后，使用Tracker的自动追踪功能，对质点进行标记，得到振幅随时间的变化图像，如图2所示。
3.2用Tracker软件对振动图像进行数据拟合
选择图像点击鼠标右键，选择“分析”，点击“Analyze”选择“拟合”。在拟合分析器中对拟合方程进行修改。
曲线拟合器会在图上绘制出分析拟合函数，并确定拟合函数值与垂直工作数据值之间的均方根偏差。我们也可以通过手动改变函数的参数来优化拟合，以使均方根偏差最小化。相应的参数结果会在下方显示，如图3所示。参数B的值就是我们需要求的振幅的衰减系数β，rmsdev为目前的均方根偏差。
4数据分析
先导入秋千系统的录制视频，用Tracker软件进行衰减系数的分析，记录在表1中。
根据表1中的数据得到秋千系统的空气阻力系数为0.。之后把3位实验者重复实验时录制的视频分别导入Tracker软件进行数据分析，得到的人体的空气阻力系数记录在下面的表2中。
根据表2给出的数据，人体在秋千系统上的空气阻力系数在0.~0.之间，数据拟合的平均均方根偏差为
，减去原本系统的空气阻力系数0.后，得到人体的空气阻力系数在0.~0.之间。取平均值后与文献1中给出的风洞实验测出的速滑运动员的空气阻力系数0.[1]相比，相对误差为1.9%，两者结果基本一致。
本实验的误差主要集中于：其一，每位实验者在每次测量时坐在秋千上腿部弯曲的姿势有细微差别，导致每次实验的迎风面积有差别，所以每人三次实验的数据呈现出一定的波动；其二，人坐在秋千无法完全不用力，只能尽量减少人对于秋千摆动的影响。通过对比几次实验数据，我们可以定性的得到结论，人体的空气阻力系数会随着人体迎风面积的增大而增大，但是人体的空气阻力系数大致维持在0.2~0.3。
5结语
本文充分发挥了Tracker软件的影像分析和数据处理功能，把人荡秋千的阻尼振动录像导入分析软件，追踪得到了振幅随时间的变化曲线。并且直接利用Tracker软件的数据工具对此振动曲线进行数据拟合，得到了振幅随时间的衰减系数。最后，通过更换实验员重复进行9次实验，不仅使实验结果更具有普遍性，测得人体的空气阻力系数在0.~0.之间，而且得出人体空气阻力系数会随着人体迎风面积的增大而增大的实验结论。并且通过观察数据拟合的平均均方根偏差
，说明了式（7）给出的结果与速度较小时的小阻尼简谐振动实验结果拟合精度较好，证明了小阻尼简谐振动振子的振幅衰减服从指数衰减规律。本实验得到的实验结果精确，但实验方法简单、实验器材方便获得、实验数据处理简洁明了，具有较高的可推广性，也为测量其他物体的运动提供了一种便捷的新方法。
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基金项目:湖北省教育科学规划专项资助；中学物理实验的混合式教学模式研究（ZB37）。
通讯作者:丁益民，男，湖北大学教授，主要从事物理课程与教学论、统计物理与复杂系统的研究，dymhubu
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